Corso di analisi, a - Vol. II: Differenziazione e integrazione di funzioni di più variabili, calcolo vettoriale

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Titolo originale:

Course in Analysis, a - Vol. II: Differentiation and Integration of Functions of Several Variables, Vector Calculus

Contenuto del libro:

Gli autori forniscono molti esempi, illustrazioni ed esercizi per aiutare gli studenti a digerire la teoria e utilizzano una notazione chiara e ordinata. Ho apprezzato molto la scelta degli esercizi, poiché molti dei problemi sviluppano tecniche semplici da utilizzare in seguito nel libro o creano collegamenti dell'analisi con altre parti della matematica.

Le soluzioni di tutti gli esercizi si trovano anche nel retro del libro. Come nel primo volume, anche nel secondo ci sono delle vere e proprie gemme. Un corso di analisi sembra essere pieno di queste piccole gemme in cui gli autori usano il materiale o chiedono ai lettori di usarlo per ottenere risultati o esempi che il lettore sicuramente rivedrà in un altro contesto più avanti nei suoi studi di matematica.

In generale, la qualità dell'esposizione in entrambi i primi due volumi è molto alta.

Raccomando questi libri" (vedi recensione completa)Recensioni MAAQuesto è il secondo volume di "A Course in Analysis" ed è dedicato allo studio delle mappature tra sottoinsiemi di spazi euclidei. Vengono discusse la metrica, quindi la struttura topologica, e la continuità delle mappature.

Segue l'introduzione delle derivate parziali delle funzioni a valore reale e del differenziale delle mappature. Molti capitoli trattano applicazioni, in particolare alla geometria (curve e superfici parametriche, convessità), ma vengono presi in considerazione anche argomenti come i valori estremi e i moltiplicatori di Lagrange, o le coordinate curvilinee. Sul versante più astratto vengono dimostrati in dettaglio risultati come il teorema di Stone-Weierstrass o il teorema di Arzela-Ascoli.

La prima parte si conclude con una trattazione rigorosa degli integrali di linea. La seconda parte tratta gli integrali iterati e di volume per funzioni a valore reale. Qui si sviluppa la teoria di Riemann (-Darboux-Jordan).

Un intero capitolo è dedicato ai confini e alla misurabilità Jordan dei domini. Trattiamo inoltre in dettaglio gli integrali impropri e ne forniamo alcune applicazioni.

La parte finale del volume affronta una prima discussione del calcolo vettoriale. Qui presentiamo una versione matematica del teorema di Green, Gauss e Stokes. Anche in questo caso viene data enfasi alle applicazioni, ad esempio allo studio delle equazioni differenziali parziali.

Allo stesso tempo, prepariamo lo studente a capire perché questi teoremi e gli oggetti correlati, come gli integrali di superficie, richiedono una teoria molto più avanzata, che svilupperemo in volumi successivi.

Questo volume offre più di 260 problemi risolti in modo completo e dettagliato, che dovrebbero essere di grande utilità per ogni studente serio.