Conferenze su N_X(p)

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Titolo originale:

Lectures on N_X(p)

Contenuto del libro:

Lectures on N X (p) affronta la questione di come N X (p), il numero di soluzioni delle congruenze mod p, varia con p quando la famiglia (X) di equazioni polinomiali è fissata. Sebbene una domanda così generale non possa avere una risposta completa, offre una buona occasione per rivedere varie tecniche di coomologia l-adica e di rappresentazioni di gruppo, presentate in un contesto interessante per gli specialisti di teoria dei numeri e di geometria algebrica.

Oltre a trattare i problemi aperti, il testo esamina le proprietà di dimensione e congruenza di N X (p) e descrive le modalità di calcolo, attraverso formule chiuse e/o l'uso di computer efficienti.

I primi quattro capitoli trattano i preliminari e non contengono quasi nessuna dimostrazione. Dopo una panoramica dei principali teoremi su N X (p), il libro offre esempi semplici e illustrativi e discute il teorema della densità di Chebotarev, essenziale per lo studio delle funzioni e degli insiemi frobeniani. Il libro passa inoltre in rassegna la coomologia ℓ-adica.

L'autore presenta poi risultati sulle rappresentazioni di gruppo spesso difficili da trovare in letteratura, come la tecnica di calcolare le misure di Haar in un gruppo ℓ-adico compatto eseguendo un calcolo simile in un gruppo di Lie reale compatto. Questi risultati vengono poi utilizzati per discutere le possibili relazioni tra due diverse famiglie di equazioni X e Y. L'autore descrive anche le proprietà archimedee di N X (p), un argomento su cui si sa molto meno che nel caso ℓ-adico. Dopo un capitolo sulla congettura di Sato-Tate e sui suoi aspetti concreti, il libro si conclude con un resoconto del teorema dei numeri primi e del teorema della densità di Chebotarev in dimensioni superiori.