Problemi selezionati e irrisolti nella teoria della codifica

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Titolo originale:

Selected Unsolved Problems in Coding Theory

Contenuto del libro:

Utilizzando una modalità di presentazione originale e sottolineando la natura computazionale dell'argomento, questo libro esplora una serie di problemi irrisolti che esistono ancora nella teoria della codifica. Branca della matematica ben consolidata, ma ancora di grande attualità, la teoria dei codici a correzione d'errore si occupa della trasmissione affidabile di dati su un canale "rumoroso". Nonostante il suo uso frequente in una serie di contesti - le prime immagini ravvicinate della superficie di Marte, scattate dalla sonda Mariner 9 della NASA, sono state trasmesse alla Terra utilizzando un codice Reed-Muller - l'argomento contiene ancora interessanti problemi irrisolti che hanno resistito alla soluzione di alcuni dei matematici più importanti degli ultimi decenni.

Utilizzando Sage - un software matematico open source gratuito - per illustrare le loro idee, gli autori iniziano fornendo un background sui codici lineari a blocchi e introducendo alcune delle famiglie speciali di codici esplorate nei capitoli successivi, come i residui quadratici e i codici algebrico-geometrici. Viene inoltre esaminata la teoria che interseca i codici auto-duali, i reticoli e la teoria degli invarianti, che porta a un'intrigante analogia tra la funzione zeta di Duursma e la funzione zeta legata a una curva algebrica su un campo finito. Gli autori esaminano poi una connessione con la teoria dei disegni a blocchi e il teorema di Assmus-Mattson. Altri capitoli esaminano l'intricato problema di trovare una stima non banale per il numero di soluzioni in un campo finito di un'equazione polinomiale iperellittica di grado "piccolo", nonché i migliori limiti asintotici per un codice lineare binario a blocchi. Vengono inoltre discussi alcuni degli aspetti più misteriosi relativi alle forme modulari e ai codici algebrico-geometrici.

Selected Unsolved Problems in Coding Theory è destinato a studenti laureati e ricercatori in teoria algebrica della codifica, in particolare a coloro che sono interessati a trovare alcuni problemi irrisolti attuali. Si presuppone una certa familiarità con i concetti di algebra, teoria dei numeri e forme modulari. L'opera può essere utilizzata come materiale di lettura supplementare in un corso di laurea sulla teoria della codifica o per lo studio autonomo.