Oggetti semplici in topologia algebrica

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Titolo originale:

Simplicial Objects in Algebraic Topology

Contenuto del libro:

Gli insiemi semplici sono analoghi discreti degli spazi topologici. Hanno avuto un ruolo centrale nella topologia algebrica fin dalla loro introduzione alla fine degli anni '40, e svolgono un ruolo importante anche in altre aree come la topologia geometrica e la geometria algebrica. A livello formale, la teoria dell'omotopia degli insiemi simpliciali è equivalente alla teoria dell'omotopia degli spazi topologici. Alla luce di questa equivalenza, è possibile applicare tecniche discrete e algebriche per eseguire costruzioni topologiche di base. Queste tecniche sono particolarmente appropriate nella teoria della localizzazione e del completamento degli spazi topologici, sviluppata nei primi anni Settanta.

Sin dalla sua prima pubblicazione nel 1967, Simplicial Objects in Algebraic Topology è stato il riferimento standard per la teoria degli insiemi simpliciali e la loro relazione con la teoria dell'omotopia degli spazi topologici. J. Peter May fornisce un resoconto lucido della teoria dell'omotopia di base degli insiemi simpliciali, insieme all'equivalenza delle teorie dell'omotopia di cui si è parlato in precedenza. Il tema centrale è l'approccio simpliciale alla teoria delle fibrazioni e dei fasci, e in particolare l'algebrizzazione della teoria delle fibrazioni e dei fasci in termini di "prodotti cartesiani ritorti". La sequenza spettrale di Serre è descritta in termini di questa algebrizzazione. Altri argomenti trattati in dettaglio sono i complessi di Eilenberg-MacLane, i sistemi di Postnikov, i gruppi simpliciali, i complessi classificatori, i gruppi abeliani simpliciali e i modelli aciclici.

" Simplicial Objects in Algebraic Topology presenta gran parte del materiale elementare della topologia algebrica dal punto di vista semisemplice. Dovrebbe rivelarsi molto utile per chiunque desideri imparare la topologia semisemplice. (May) ha incluso prove dettagliate ed è riuscito molto bene nell'impresa di organizzare un gran numero di materiale precedentemente disperso" - Mathematical Review.