Lezioni introduttive sulla Coomologia Equivariante: (Ams-204)

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Titolo originale:

Introductory Lectures on Equivariant Cohomology: (Ams-204)

Contenuto del libro:

Questo libro fornisce una chiara introduzione alla coomologia equivariante, un argomento centrale della topologia algebrica. La coomologia equivariante si occupa della topologia algebrica degli spazi con azione di gruppo o, in altre parole, delle simmetrie degli spazi.

Definita per la prima volta negli anni '50, è stata introdotta nella teoria K e nella geometria algebrica, ma è nella topologia algebrica che i concetti sono più trasparenti e le prove più semplici. Una delle applicazioni più utili della coomologia equivariante è il teorema di localizzazione equivariante di Atiyah-Bott e Berline-Vergne, che converte l'integrale di una forma differenziale equivariante in una somma finita sull'insieme dei punti fissi dell'azione del gruppo, fornendo un potente strumento per calcolare gli integrali su un manifold. Poiché gli integrali e le simmetrie sono onnipresenti, la coomologia equivariante ha trovato applicazioni in diverse aree della matematica e della fisica.

Partendo dal presupposto che il lettore abbia seguito un semestre di teoria dei manifold e un anno di topologia algebrica, Loring Tu inizia con la costruzione topologica della coomologia equivariante, per poi sviluppare la teoria per i manifold lisci con l'aiuto di forme differenziali. Per mantenere l'esposizione semplice, il teorema di localizzazione equivariante è dimostrato solo per un'azione circolare.

Un'appendice fornisce una prova del teorema di de Rham equivariante, dimostrando che la coomologia equivariante può essere calcolata utilizzando forme differenziali equivarianti. Esempi e calcoli illustrano i nuovi concetti.

Gli esercizi includono suggerimenti o soluzioni, rendendo questo libro adatto all'autoapprendimento.