Geometria differenziale: Connessioni, curvatura e classi caratteristiche

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Titolo originale:

Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes

Contenuto del libro:

Questo testo presenta un'introduzione di livello universitario alla geometria differenziale per studenti di matematica e fisica. L'esposizione segue lo sviluppo storico dei concetti di connessione e curvatura con l'obiettivo di spiegare la teoria di Chern-Weil delle classi caratteristiche su un fascio principale. Lungo il percorso incontriamo alcuni dei punti salienti della storia della geometria differenziale, ad esempio il Teorema Egregium di Gauss e il teorema Gauss-Bonnet. Gli esercizi presenti nel libro mettono alla prova la comprensione del materiale e talvolta illustrano estensioni della teoria. Inizialmente, i prerequisiti per il lettore includono una conoscenza di base dei manifold. Dopo il primo capitolo, diventa necessario comprendere e manipolare le forme differenziali. Nell'ultimo terzo del testo è richiesta una conoscenza della coomologia di de Rham.

Il materiale di base è contenuto nel testo dell'autore "An Introduction to Manifolds" e può essere appreso in un semestre. A beneficio del lettore e per stabilire notazioni comuni, l'Appendice A richiama le basi della teoria dei manifold. Inoltre, nel tentativo di rendere l'esposizione più autonoma, sono state incluse sezioni su costruzioni algebriche come il prodotto tensoriale e la potenza esterna.

La geometria differenziale, come dice il nome, è lo studio della geometria attraverso il calcolo differenziale. Le sue origini risalgono a Newton e Leibniz nel XVII secolo, ma è solo nel XIX secolo, con il lavoro di Gauss sulle superfici e di Riemann sul tensore di curvatura, che la geometria differenziale fiorisce e getta le sue basi moderne. Negli ultimi cento anni, la geometria differenziale si è dimostrata indispensabile per la comprensione del mondo fisico, nella teoria generale della relatività di Einstein, nella teoria della gravitazione, nella teoria di gauge e ora nella teoria delle stringhe. La geometria differenziale è utile anche in topologia, in diverse variabili complesse, in geometria algebrica, nei manifesti complessi e nei sistemi dinamici, tra gli altri campi. Il campo ha persino trovato applicazioni alla teoria dei gruppi, come nel lavoro di Gromov, e alla teoria della probabilità, come nel lavoro di Diaconis. Non è azzardato affermare che la geometria differenziale dovrebbe far parte dell'arsenale di ogni matematico.