Langlands derivate: Risoluzioni monomie di rappresentazioni ammissibili

Titolo originale:

Derived Langlands: Monomial Resolutions of Admissible Representations

Contenuto del libro:

Il Programma Langlands è una delle aree più importanti della matematica pura moderna. L'importanza di questo volume risiede nella possibilità di riformulare molti aspetti del programma in un contesto completamente nuovo.

Ad esempio, i morfismi della categoria monomiale di un gruppo di Lie localmente p-adico hanno una descrizione distribuzionale, dovuta a Bruhat nella sua tesi. Le rappresentazioni ammissibili nel programma sono spesso trattate tramite algebre di convoluzione di distribuzioni e rappresentazioni di algebre di Hecke. L'incorporazione monomia, introdotta in questo libro, unisce elegantemente questi due usi della teoria delle distribuzioni.

L'autore dà seguito a questa applicazione fornendo il trattamento della categoria monomia del centro di Bernstein, classificato da Deligne-Bernstein-Zelevinsky.

Questo libro offre un nuovo contesto categoriale in cui affrontare argomenti ben noti. Pertanto, il contesto utilizzato per spiegare gli esempi è spesso il caso più generalmente accessibile delle rappresentazioni di gruppi lineari generali finiti.

Ad esempio, il cambio di base di Galois e i fattori epsilon per i gruppi di Lie localmente p-adici sono illustrati rispettivamente dalla discesa di Shintani e dalle somme di Kondo-Gauss. I gruppi lineari generali di campi locali sono enfatizzati. Tuttavia, poiché la filosofia di questo libro è essenzialmente quella della teoria dell'omotopia e della topologia algebrica, esso include una breve appendice che mostra come le costruzioni di Bruhat-Tits, sufficienti per il gruppo lineare generale, possano essere generalizzate agli spazi di tom Dieck (ora noti come spazi di Baum-Connes) quando G è un gruppo di Lie localmente p-adico.

Lo scopo di questa monografia è descrivere un embedding funtoriale della categoria delle rappresentazioni k ammissibili di un gruppo topologico localmente profinito G nella categoria derivata della categoria additiva della categoria dei moduli k ammissibili. Gli esperti del Programma Langlands potrebbero essere interessati a sapere che, quando G è un gruppo di Lie localmente p-adico, la categoria dei monomi è strettamente correlata alla categoria dei moduli topologici su una sorta di algebra di Hecke allargata, con generatori corrispondenti a caratteri su aperti compatti modulo i sottogruppi centrali di G. Dopo aver stabilito questo embedding funtoriale, si esamina come gli ingredienti del celebre Programma Langlands si adattino al contesto della categoria derivata dei moduli monomiali.

Questi includono le rappresentazioni automorfe, i fattori epsilon e le funzioni L, le forme modulari, le rappresentazioni di Weil-Deligne, il cambio di base di Galois e gli operatori di Hecke.