Fondamenti dell'analisi moderna

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Titolo originale:

Foundations Of Modern Analysis

Contenuto del libro:

FONDAMENTI DELL'ANALISI MODERNA. Questo libro è il primo volume di un trattato che sarà composto da quattro volumi. È anche una stampa ampliata e corretta, essenzialmente senza modifiche, dei miei Fondamenti dell'analisi moderna. Molti lettori, colleghi e amici mi hanno sollecitato a scrivere un seguito di quel libro e alla fine mi sono convinto che c'era posto per un'indagine sull'analisi moderna, a metà strada tra il kit minimo di strumenti di natura elementare che avevo intenzione di scrivere e le monografie specialistiche che portano alle frontiere della ricerca. La mia esperienza di insegnante mi ha anche convinto che l'apprendista matematico, dopo aver fatto il primo passo con i Fondamenti, ha bisogno di un'ulteriore guida e di una sorta di visione generale a volo d'uccello della sua materia prima di essere lanciato nell'oceano della letteratura matematica o di incamminarsi sul sentiero stretto del proprio argomento di ricerca. Per questo sono stato finalmente indotto a tentare di scrivere un equivalente, per i matematici del 1970, di quello che i Cours dAnalyse di Jordan, Picard e Goursat furono per gli studenti di matematica tra il 1880 e il 1920. È chiaramente fuori questione tentare una copertura enciclopedica, e certamente superfluo riscrivere le opere di N. Bourbaki. Sono stato quindi costretto a tagliare in modo spietato per mantenermi entro limiti paragonabili a quelli dei trattati classici.

Ho optato per l'ampiezza piuttosto che per la profondità, ritenendo che sia meglio mostrare al lettore i rudimenti di molte branche dell'analisi moderna, piuttosto che fornirgli una descrizione completa e dettagliata di un numero limitato di argomenti. L'esperienza sembra dimostrare che lo studente di solito trova difficile afferrare una nuova teoria a una prima lettura. Ha bisogno di tornarci più volte prima di acquisire una reale familiarità con essa e di poter distinguere da solo quali sono le idee essenziali e quali i risultati di minore importanza, e solo allora sarà in grado di applicarla in modo intelligente. I capitoli di questo trattato sono quindi degli esempi piuttosto che delle teorie complete: infatti, ho cercato sistematicamente di non essere esaustivo. Le opere citate nella bibliografia permetteranno sempre al lettore di approfondire una determinata teoria. Tuttavia, mi sono rifiutato di distorcere le idee principali dell'analisi presentandole in forma troppo specialistica, oscurandone così la potenza e la generalità. Dà una falsa impressione, per esempio, se la geometria differenziale è limitata a due o tre dimensioni, o se l'integrazione è limitata alla misura di Lebesgue, con il pretesto di rendere questi argomenti più accessibili o intuitivi. D'altra parte, non credo che il contenuto essenziale delle idee coinvolte vada perso, in un primo studio, limitando l'attenzione agli spazi metrizabletopologici separabili.

I matematici della mia generazione avevano certamente ragione a bandire le ipotesi di contabilità ovunque non fossero necessarie: questo era l'unico modo per ottenere una comprensione chiara.