Un contesto formale per la matematica: Logica, insiemi e numeri

Titolo originale:

A Formal Background to Mathematics: Logic, Sets and Numbers

Contenuto del libro:

1 Di fronte alle domande citate nella Prefazione sono stato spinto a scrivere questo libro partendo dal presupposto che il lettore tipo avrà determinate caratteristiche.

Egli avrà presumibilmente familiarità con i resoconti convenzionali di alcune parti della matematica e con molti cosiddetti enunciati matematici, alcuni dei quali (i teoremi) saprà (o perché ha studiato e digerito una dimostrazione o perché accetta l'autorità di altri) essere veri, e altri saprà (allo stesso modo) essere falsi. Sarà comunque consapevole e turbato da una mancanza di chiarezza nella propria mente riguardo ai concetti di prova e di verità in matematica, anche se quasi certamente riterrà che in matematica questi concetti abbiano significati particolari, ampiamente simili nelle caratteristiche esteriori e diversi da quelli della vita quotidiana, e che si basino su criteri diversi da quelli sperimentali utilizzati nella scienza.

Sarà consapevole di affermazioni di cui non si conosce ancora la verità o la falsità (problemi irrisolti). Forse sarà sorpreso e sconcertato dalla possibilità che esistano affermazioni “certe” (nel senso che non comportano variabili libere) e che tuttavia non possono mai essere dimostrate o confutate (rigorosamente sulla base di un insieme di assiomi e di un concetto di prova concordati).