Teoria della classificazione per classi elementari astratte: Volume 2

Titolo originale:

Classification Theory for Abstract Elementary Classes: Volume 2

Contenuto del libro:

Una classe elementare astratta (AEC) è una classe di strutture di un vocabolario fisso che soddisfa alcune proprietà naturali di chiusura. Queste classi comprendono le classi normali definite nella teoria dei modelli e gli esempi naturali emergono dalla pratica matematica, ad esempio in algebra, per non parlare delle logiche del primo ordine e infinitarie.

Una AEC è sempre dotata di una speciale relazione di sottostruttura, che non sempre è quella ovvia. Le classi elementari astratte rappresentano una via d'uscita dal cul de sac della teoria dei modelli dei linguaggi infiniti, nata dall'eccessiva concentrazione sui criteri sintattici. Questo è il secondo volume di una monografia in due volumi sulle classi elementari astratte.

È abbastanza autonomo e tratta tre questioni distinte. Il primo è il tema delle classi universali, cioè classi di strutture di un vocabolario fisso tali che una struttura appartiene alla classe se e solo se ogni sottostruttura finitamente generata vi appartiene.

Da un'ipotesi sul numero di modelli, si ricava poi l'esistenza di una cornice (quasi) buona. La nozione di cornice è una naturale generalizzazione del concetto di superstabilità del primo ordine a questo contesto. L'ipotesi dice che la GCH debole è valida per un cardinale $\lambda$, il suo successore e il suo doppio successore, e che la classe è categorica nei primi due casi, e ha un valore intermedio per il numero di modelli nel terzo.

In particolare, possiamo concludere da questo argomento l'esistenza di un modello nel cardinale successivo. Infine, affrontiamo la parte non strutturale dell'argomento, ossia l'ottenimento di molti modelli non isomorfi nel doppio successore di $ \lambda$ sotto ipotesi rilevanti, trattiamo anche le cornici quasi buone stesse e qualche teoria degli insiemi rilevante.