Strada reale per la topologia, A: Convergenza dei filtri

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Titolo originale:

Royal Road to Topology, A: Convergence of Filters

Contenuto del libro:

Gli spazi topologici sono un caso particolare di spazi di convergenza.

Questo libro di testo introduce la topologia in un contesto più ampio di teoria della convergenza. Il titolo allude ai vantaggi del presente approccio, che è più gratificante di molti altri tradizionali: si viaggia più comodamente attraverso i paesaggi matematici e si vede di più.

Il libro si rivolge sia a coloro che desiderano imparare la topologia sia a coloro che, avendo già una conoscenza della topologia, sono curiosi di rivederla da una prospettiva diversa, che va ben oltre le conoscenze tradizionali. Gli argomenti consueti dei corsi classici di topologia teorica degli insiemi sono trattati in una fase iniziale del libro, dal punto di vista della convergenza dei filtri, ma in modo piuttosto elementare. In seguito, la maggior parte di questi fatti riappare come semplici conseguenze di aspetti più avanzati della teoria della convergenza.

Le virtù citate dell'approccio derivano dal fatto che la classe delle convergenze è chiusa sotto diverse operazioni naturali ed essenziali, mentre la classe delle topologie non lo è! Di conseguenza, la teoria della convergenza completa la topologia come il campo dei numeri complessi completa algebricamente il campo dei numeri reali. La teoria della convergenza è intuitiva e operativa grazie all'appropriato livello di astrazione, sufficientemente generale per cogliere le leggi sottostanti, ma non troppo per non perdere il fascino intuitivo.