Punti razionali sulle curve ellittiche

Recensioni dei lettori

Questo libro è un'introduzione completa ma accessibile alla teoria delle curve ellittiche, che lo rende particolarmente adatto a matematici non laureati e a studenti universitari. È apprezzato per la sua leggibilità e per il suo contenuto ben strutturato, pur essendo notato per la sua limitata profondità in alcune aree.

⬤ Ben scritto e facile da capire
⬤ adatto all'autoapprendimento
⬤ copre materiale interessante
⬤ include esercizi utili per la comprensione
⬤ la nuova edizione aggiunge contenuti preziosi come il teorema di Fermat e la crittologia.

⬤ Manca di prove rigorose per alcuni teoremi
⬤ alcuni lettori potrebbero trovare la presentazione delle prove eccessivamente dettagliata
⬤ richiede un discreto investimento di tempo per comprendere appieno il materiale.

(basato su 8 recensioni dei lettori)

Titolo originale:

Rational Points on Elliptic Curves

Contenuto del libro:

La teoria delle curve ellittiche comporta una piacevole miscela di algebra, geometria, analisi e teoria dei numeri. Questo volume sottolinea questa interazione mentre sviluppa la teoria di base, fornendo così un'opportunità agli studenti universitari avanzati di apprezzare l'unità della matematica moderna.

Allo stesso tempo, è stato fatto ogni sforzo per utilizzare solo metodi e risultati comunemente inclusi nel curriculum universitario. Questa accessibilità, lo stile di scrittura informale e la ricchezza di esercizi fanno dei Punti razionali sulle curve ellittiche un'introduzione ideale per gli studenti di ogni livello interessati a conoscere le equazioni diofantee e la geometria aritmetica. Più concretamente, una curva ellittica è l'insieme degli zeri di un polinomio cubico in due variabili.

Se il polinomio ha coefficienti razionali, si può chiedere una descrizione di quegli zeri le cui coordinate sono numeri interi o razionali. È questa domanda di teoria dei numeri l'argomento principale di Punti razionali su curve ellittiche.

Gli argomenti trattati includono la geometria e la struttura di gruppo delle curve ellittiche, il teorema di Nagell-Lutz che descrive i punti di ordine finito, il teorema di Mordell-Weil sulla generazione finita del gruppo dei punti razionali, il teorema di Thue-Siegel sulla finitezza dell'insieme dei punti interi, i teoremi sul conteggio dei punti con coordinate in campi finiti, l'algoritmo di fattorizzazione delle curve ellittiche di Lenstra e una discussione sulla moltiplicazione complessa e sulle rappresentazioni di Galois associate ai punti di torsione. Altri argomenti nuovi nella seconda edizione includono un'introduzione alla crittografia a curve ellittiche e una breve discussione della sorprendente dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat da parte di Wiles et al.

attraverso l'uso di curve ellittiche.