Introduzione alla geometria differenziale con l'utilizzo del calcolo tensoriale

Titolo originale:

An Introduction to Differential Geometry - With the Use of Tensor Calculus

Contenuto del libro:

INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE CON USO DEL CALCOLO TENSORIALE Di LUTHER PFAHLER EISENHART. Prefazione: Dal 1909, quando fu pubblicato il mio Geometria differenziale delle curve e delle superfici, il calcolo tensoriale, che era stato precedentemente inventato da Ricci, è stato adottato da Einstein nella sua Teoria generale della relatività ed è stato ulteriormente sviluppato nello studio della Geometria Riemanniana e di varie generalizzazioni di quest'ultima. Nel presente libro il calcolo tensoriale dello spazio cuclideo 3 viene sviluppato e poi generalizzato in modo da essere applicato a uno spazio riemanniano di qualsiasi numero di dimensioni. Il calcolo tensoriale, così come è stato sviluppato, viene applicato nei capitoli III e IV allo studio della geometria differenziale delle superfici nello spazio 3. Il materiale trattato è equivalente a quello che appare in generale nei primi otto capitoli del mio libro precedente, con le aggiunte derivanti dall'introduzione del concetto di parallelismo di Levi-Civita e dal contenuto del calcolo tensoriale. LUTHER PFAHLER EISENHART. Il contenuto comprende: CAPITOLO I CURVE NELLO SPAZIO SEZIONE PAGINA 1. Curve e superfici. La convenzione di sommatoria 1 2. Lunghezza di una curva. Elemento lineare, 8 3. Tangente a una curva. Ordine di contatto. Piano oscillante 11 4. Curvatura. Normale principale. Cerchio di curvatura 16 5. Normale TBi. Torsione 19 6r Le formule di Frenet. La forma di una curva nelle vicinanze di un punto 25 7. Equazioni intrinseche di una curva 31 8. Involuti ed evoluti di una curva. Involute ed evolute di una curva 34 9.

La superficie tangente di una curva. La superficie polare. Sfera oscillante. 38 10. Equazioni parametriche di una superficie. Coordinate e curve di coordinate di una superficie 44 11. 1 Piano tangente a una superficie 50 tSffSuperfici sviluppabili. Inviluppo di una famiglia di superfici con un solo parametro. 53 CAPITOLO II TRASFORMAZIONE DI COORDINATE. CALCOLO TENSORIALE 13. Trasformazione di coordinate. Coordinate curvilinee 63 14. La forma quadratica fondamentale dello spazio 70 15. Vettori contravarianti. Gli scalari 74 16. Lunghezza di un vettore contravariante. Angolo tra due vettori 80 17. Vettori covarianti. Componenti contravarianti e covarianti di un vettore 83 18. Tensori. Tensori. Tensori simmetrici e a simmetria obliqua 89 19. Addizione, sottrazione e moltiplicazione di tensori. Contrazione.... 94 20. I simboli di Christoffel. Il tensore di Riemann 98 21. Le formule di Frenet in coordinate generali 103 22. Differenziazione covariante 107 23. Sistemi di equazioni differenziali parziali del primo ordine. Sistemi misti 114 CAPITOLO III GEOMETRIA INTRINSECA DI UNA SUPERFICIE 24. Elementi lineari di una superficie. Elemento lineare di una superficie. Prima forma quadratica fondamentale di una superficie. Vettori in una superficie 123 25. Angolo di due curve intersecanti in una superficie. Elemento dell'area 129 26. Famiglie di curve in una superficie. Direzioni principali 138 27. La geometria intrinseca di una superficie. Superfici isometriche 146 28. I simboli di Christoffel per una superficie. Il tensore di curvatura riemanniano. La curvatura gaussiana di una superficie 149 29.

Parametri differenziali 155 30. Reti ortogonali isometriche. Coordinate isometriche 161 31...