Equazioni differenziali parziali

Titolo originale:

Partial Differential Equations

Contenuto del libro:

Questa è una versione riveduta e ampliata della mia introduzione elementare del 1995 alle equazioni parziali di erenziale. Il materiale è essenzialmente lo stesso, tranne che per tre nuovi capitoli.

Il primo (capitolo 8) riguarda le equazioni non lineari del primo ordine e in particolare le equazioni di Hamilton-Jacobi. Si basa sull'idea che le PDE, pur essendo un ramo dell'analisi matematica, sono strettamente legate ai modelli dei fenomeni fisici. Tale fisica sottostante fornisce a sua volta idee di risolvibilità.

L'approccio variazionale di Hopf al problema di Cauchy per le equazioni di Hamilton-Jacobi è uno degli esempi più chiari e incisivi di questa interazione.

Il metodo è una miscela perfetta di meccanica classica, attraverso il ruolo e le proprietà della lagrangiana e dell'hamiltoniana, e di calcolo delle variazioni. Una questione delicata è quella dell'identificazione delle "classi di unicità".

"È stato fatto un tentativo di estrarre le condizioni geometriche sul grafico delle soluzioni, come la quasi-concavità, affinché l'unicità sia valida. Il capitolo 9 è un'introduzione alle formulazioni deboli, agli spazi di Sobolev e ai metodi variazionali diretti per le equazioni lineari e quasi-linearelittiche. Pur essendo sintetico, il materiale sugli spazi di Sobolev è ragionevolmente completo, almeno per un utente di PDE.

Include tutti i teoremi di base dell'embedding, comprese le loro prove, e la teoria delle tracce. Le formulazioni deboli dei problemi di Dirichlet e Neumann si basano su questo materiale. I metodi variazionali e Galerkin correlati, così come i problemi agli autovalori, sono presentati all'interno del loro quadro debole.