Un corso di calcolo delle variazioni: Ottimizzazione, regolarità e modellazione

Titolo originale:

A Course in the Calculus of Variations: Optimization, Regularity, and Modeling

Contenuto del libro:

Questo libro fornisce un'introduzione all'ampio argomento del calcolo delle variazioni. Affronta le domande più naturali sui problemi variazionali e le complessità matematiche che essi presentano.

Partendo dalla modellazione scientifica che motiva l'argomento, il libro affronta poi questioni matematiche come l'esistenza e l'unicità delle soluzioni, la loro caratterizzazione in termini di equazioni differenziali parziali e la loro regolarità. Include risultati classici e recenti su problemi variazionali unidimensionali, nonché l'adattamento al caso multidimensionale. In questo caso, la convessità gioca un ruolo importante nello stabilire i risultati di semicontinuità e le connessioni con le tecniche di ottimizzazione, e la dualità convessa viene persino utilizzata per produrre risultati di regolarità. Seguono poi la più classica teoria della regolarità di Hölder per i PDE ellittici e alcuni problemi geometrici variazionali sugli insiemi, tra cui la disuguaglianza isoperimetrica e il problema dell'albero di Steiner. Il libro si conclude con un capitolo sui limiti delle sequenze di problemi variazionali, espressi in termini di Γ-convergenza.

Pur essendo pensato principalmente per corsi di livello master e avanzato, questo libro di testo, basato sull'esperienza didattica dell'autore, offre anche spunti originali che possono essere di interesse per dottorandi e ricercatori. È richiesta una conoscenza di base della teoria delle misure e dell'analisi funzionale, ma tutti i concetti essenziali sono ribaditi nel corso del libro attraverso appositi memo-box.