Trattato elementare sulle equazioni differenziali

Titolo originale:

An Elementary Treatise on Differential Equations

Contenuto del libro:

AN ELEMENTARY TREATISE ON DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THEIR APPLICATIONS di H. T. H. PIAGGIO, M. A., D. Sc. PROFESSORE DI MATEMATICA, UNIVERSITY COLLEGE, NOTTINGHAM SENIOR SCHOLAR DEL ST. JOHNS COLLEGE, CAMBRIDGE LONDRA G. BELL AND SONS, LTD, 1949 Pubblicato per la prima volta nel maggio 1920. Ristampa 1921, 1924, 1925, 1926 Edizione riveduta e ampliata 1922 ristampa 1929, 1931, 1933, 1937, 1959, 1940, 1911, 1942, 1943, 1944, 1945, 1946, 1949. STAMPATO IN GRAN BRETAGNA DA ROBERT MACLKHOSE AND CO. LTD. THE UNIVERSITY PRESS, GLASGOW. PREFAZIONE La teoria delle equazioni differenziali, diceva Sophus Lie, è la branca più importante della matematica moderna. Si può considerare che l'argomento occupi una posizione centrale da cui si estendono diverse linee di sviluppo in molte direzioni. Se percorriamo un sentiero puramente analitico, siamo presto portati a parlare di Serie Infinite, Teoremi di Esistenza e Teoria delle Funzioni. Un altro ci porta alla Geometria differenziale delle curve e delle superfici. Tra i due si trova il percorso scoperto per la prima volta da Lie, che porta ai gruppi continui di trasformazione e alla loro interpretazione geometrica. Divergendo in un'altra direzione, siamo condotti allo studio delle vibrazioni meccaniche ed elettriche di ogni tipo e all'importante fenomeno della risonanza. Alcune equazioni differenziali parziali costituiscono il punto di partenza per lo studio della conduzione del calore, della trasmissione delle onde elettriche e di molte altre branche della fisica.

La Chimica Fisica, con la sua legge dell'azione di massa, si occupa in larga misura di alcune equazioni differenziali. L'obiettivo di questo libro è quello di fornire un resoconto delle parti centrali della materia nella forma più semplice possibile, adatta a chi non ha conoscenze precedenti, e allo stesso tempo di indicare le diverse direzioni in cui può essere sviluppata. La maggior parte del testo e gli esempi contenuti nel corpo del libro risulteranno molto semplici. L'unica conoscenza precedente che si presuppone è quella degli elementi del calcolo differenziale e integrale e di un po' di geometria delle coordinate. Gli esempi vari alla fine dei vari capitoli sono leggermente più difficili. Contengono diversi teoremi di importanza minore, con suggerimenti che dovrebbero essere sufficienti per consentire allo studente di risolverli. Contengono anche applicazioni geometriche e fisiche, ma si è prestata molta attenzione a formulare i quesiti in modo tale da non richiedere alcuna conoscenza della fisica. Per esempio, una domanda chiede di risolvere una certa equazione differenziale parziale in termini di alcune costanti e variabili. Questo può essere considerato un pezzo di matematica pura, ma è immediatamente seguito da una nota che indica che il lavoro si riferisce a un noto esperimento sul calore e fornisce il significato fisico delle costanti e delle variabili in questione.

Infine, alla fine del libro viene fornita una serie di 115 esempi di difficoltà molto maggiore, la maggior parte dei quali sono tratti da prove d'esame universitarie. Devo ringraziare le Università di Londra, Sheffield e Galles, e i Sindacati della Cambridge University Press per la gentilezza con cui mi hanno permesso di utilizzarli. Il libro copre il corso di equazioni differenziali richiesto per il London B. Sc. Honours o Schedule A del Cambridge Mathematical Tripos, Parte II, e comprende anche parte del lavoro richiesto per il London M. Sc. o Schedule B del Mathematical Tripos. Un'appendice fornisce suggerimenti per ulteriori letture. Il numero di esempi, lavorati e non, è molto elevato e le risposte a quelli non lavorati sono fornite alla fine del libro. Si possono citare alcuni punti particolari. Il metodo grafico del Capitolo I, basato sul MS. gentilmente prestatomi dal Dr. Brodetsky di una relazione letta davanti alla Mathematical Association e su una relazione in qualche modo simile del Prof. Takeo Wada, non è mai apparso prima in nessun libro di testo. Il capitolo sull'integrazione numerica tratta l'argomento in modo più completo del solito...