Teoria spettrale degli operatori nello spazio di Hilbert

Titolo originale:

Spectral Theory Of Operators In Hilbert Space

Contenuto del libro:

Le presenti lezioni intendono fornire un'introduzione all'analisi spettrale degli operatori autogiunti nel quadro della teoria dello spazio di Hilbert. La nozione guida di questo approccio è quella di rappresentazione spettrale.

Allo stesso tempo, viene enfatizzata la nozione di funzione di un operatore. Definizione di spazio di Hilbert: In matematica, uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale reale o complesso con una forma hermitiana positiva-definita, completo sotto la sua norma. È quindi uno spazio a prodotto interno, il che significa che possiede nozioni di distanza e di angolo (in particolare la nozione di ortogonalità o perpendicolarità).

Il requisito di completezza assicura che per gli spazi di Hilbert a dimensione infinita i limiti esistano quando previsto, il che facilita varie definizioni del calcolo. Un tipico esempio di spazio di Hilbert è lo spazio delle sequenze quadrate sommabili.

Gli spazi di Hilbert consentono di applicare semplici concetti geometrici, come la proiezione e il cambio di base, a spazi infiniti, come gli spazi delle funzioni. Forniscono un contesto con cui formalizzare e generalizzare i concetti di serie di Fourier in termini di polinomi ortogonali arbitrari e di trasformata di Fourier, che sono concetti centrali dell'analisi funzionale.

Gli spazi di Hilbert sono di importanza cruciale nella formulazione matematica della meccanica quantistica.