Teoria dei polifogli e di Fredholm

Titolo originale:

Polyfold and Fredholm Theory

Contenuto del libro:

Questo libro è il pioniere di una teoria di Fredholm non lineare in una classe generale di spazi chiamati poliformi. La teoria generalizza alcuni aspetti dell'analisi non lineare e della geometria differenziale e li combina con un pizzico di teoria delle categorie per incorporare le simmetrie locali. Dal punto di vista della geometria differenziale, il libro introduce un'ampia classe di spazi e fasci "lisci" che possono avere dimensioni localmente variabili (finite o infinite). Questi fasci sono dotati di un'importante classe di sezioni, che presentano proprietà che ricordano la classica teoria di Fredholm non lineare e consentono di formulare teoremi sulle funzioni implicite. All'interno di questo quadro di analisi non lineare, viene sviluppata una versatile teoria della trasversalità e delle perturbazioni che copre anche le impostazioni equivarianti.

La teoria presentata in questo libro è stata avviata dagli autori tra il 2007 e il 2010, motivati da problemi di moduli non lineari in geometria simplettica. Tali problemi sono solitamente descritti localmente come sistemi ellittici non lineari e devono essere studiati fino a una nozione di isomorfismo. Questo introduce le simmetrie, poiché un sistema di questo tipo può essere isomorfo a se stesso in modi diversi. I fenomeni di bubbling-off sono comuni e devono essere completamente compresi per produrre invarianti algebrici. Ciò richiede una teoria della trasversalità per i fenomeni di bubbling-off in presenza di simmetrie. Molto spesso, anche nelle applicazioni concrete, le perturbazioni geometriche non sono sufficientemente generali per ottenere la trasversalità e si devono considerare perturbazioni astratte. La teoria è già stata applicata con successo alle applicazioni previste nella geometria simplettica e dovrebbe trovare applicazione in molte altre aree in cui si incontrano equazioni differenziali parziali, geometria e analisi funzionale.

Scritto dai suoi ideatori, Polyfold and Fredholm Theory è un trattato autorevole e completo sulla teoria delle poliformi. Si rivelerà prezioso per i ricercatori che studiano i problemi ellittici non lineari che sorgono in contesti geometrici.