Sistemi differenziali esterni

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Titolo originale:

Exterior Differential Systems

Contenuto del libro:

Questo libro tratta dei sistemi differenziali esterni. Include sia la teoria generale che varie applicazioni.

Un sistema differenziale esterno è un sistema di equazioni su un manifesto definito equiparando a zero un certo numero di forme differenziali esterne. Quando tutte le forme sono lineari, si chiama sistema pfaffiano. Il nostro obiettivo è quello di studiare i suoi manifesti integrali, cioè i sottomultipli che soddisfano tutte le equazioni del sistema.

Un fatto fondamentale è che ogni equazione implica quella ottenuta per differenziazione esterna, così che l'insieme completo delle equazioni associate a un sistema differenziale esterno costituisce un ideale differenziale nell'algebra di tutte le forme lisce. La teoria è quindi priva di coordinate e le computazioni hanno tipicamente un carattere algebrico.

Tuttavia, anche quando le coordinate vengono utilizzate in fasi intermedie, l'uso dell'algebra esterna aiuta a guidare in modo efficiente i calcoli e, di conseguenza, la trattazione si adatta bene a problemi geometrici e fisici. Un sistema di equazioni differenziali parziali, con un numero qualsiasi di variabili indipendenti e dipendenti e che coinvolge derivate parziali di qualsiasi ordine, può essere scritto come un sistema differenziale esterno. In questo caso siamo interessati a manifesti integrali su cui alcune coordinate rimangono indipendenti.

La nozione corrispondente nei sistemi differenziali esterni è la condizione di indipendenza: certe forme pfaffiane rimangono linearmente indipendenti. Le equazioni differenziali parziali e i sistemi differenziali esterni con condizione di indipendenza sono essenzialmente lo stesso oggetto.