Primi passi matematici sull'ottimizzazione lineare

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Titolo originale:

A Mathematical Primer on Linear Optimization

Contenuto del libro:

Il libro fornisce un'introduzione matematica autonoma all'ottimizzazione lineare per gli studenti universitari di matematica. Il libro è adatto anche agli studenti di Scienze, Ingegneria ed Economia interessati ad approfondire gli aspetti matematici dell'argomento.

Il problema dell'ottimizzazione lineare viene analizzato da diverse prospettive: topologica, algebrica, geometrica, logica e algoritmica. Tuttavia, non è richiesta alcuna conoscenza precedente di questi argomenti. I dettagli essenziali sono sempre forniti in una sezione speciale alla fine di ogni capitolo.

Il materiale tecnico è illustrato con molteplici esempi, problemi con soluzioni complete e una serie di esercizi proposti.

Nel Capitolo 1 vengono presentate diverse formulazioni del problema di ottimizzazione lineare e vengono messi in relazione vettori ammissibili e ottimizzatori. Nel Capitolo 2 vengono poi discusse le condizioni sufficienti per l'esistenza di ottimizzatori basati su tecniche topologiche.

L'obiettivo principale del Capitolo 3 è fornire un metodo per decidere se un vettore ammissibile sia o meno un ottimizzatore, basandosi sul Lemma di Farkas. Nel Capitolo 4 si utilizza l'algebra lineare per calcolare gli ottimizzatori tramite vettori ammissibili di base. Una caratterizzazione geometrica di tali vettori è l'obiettivo del Capitolo 5.

Nel Capitolo 6 viene discussa la dualità, che fornisce una nuova tecnica per trovare gli ottimizzatori. Nel Capitolo 7 viene presentata un'introduzione alla complessità computazionale, con l'obiettivo di analizzare l'efficienza degli algoritmi di ottimizzazione lineare. Si dimostra che la complessità di un algoritmo di forza bruta non è polinomiale.

Il Capitolo 8 è dedicato all'algoritmo Simplex. Include la dimostrazione della sua solidità e completezza e una spiegazione della sua complessità non polinomiale.

Infine, il Capitolo 9 si concentra sul problema dell'ottimizzazione degli interi, con particolare attenzione alla totale unimodularità. Viene analizzato un algoritmo basato sulla tecnica Branch and Bound.