Numeri

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Titolo originale:

Numbers

Contenuto del libro:

I vari sistemi numerici sono di solito dati per scontati dalla maggior parte delle persone, e a ragione. Ma almeno una volta nella carriera di ogni persona seriamente interessata alla matematica, dovrebbero essere esaminati con occhio critico. Perché sono stati creati e perché le loro proprietà sono quelle che sono? Numbers vuole essere un libro leggibile ma rigoroso che affronta questi punti. Il libro di Edmund Landau del 1930 Grundlagen der Analysis (Fondamenti dell'analisi) è ancora in stampa, a dimostrazione del continuo desiderio di un libro di questo tipo, ma è straordinariamente conciso e famoso per questo. È una lunga serie di definizioni e teoremi, senza alcun materiale informale. Abbiamo cercato di trovare un buon mix di informalità e sviluppo formale. Dedichiamo molto tempo alla motivazione, fornendo le ragioni informali per cui uno sviluppo formale può procedere in questo modo. Poi, e solo dopo, presentiamo il materiale formale. In questo modo il lettore impara non solo il meccanismo dei sistemi numerici, ma anche come la matematica formale viene creata e pensata a un livello pre-formale.

Il ruolo della teoria degli insiemi e la sua relazione con i sistemi numerici è importante, ma in un libro che si concentra sui numeri è piuttosto deviante. Un po' di teoria degli insiemi è necessaria, naturalmente, ma i principi necessari sono semplici e diretti. Partiamo dal presupposto che facciano parte dell'apparato logico del lettore e proseguiamo da lì. Vengono citate alcune questioni fondamentali, ma questo non è un libro sulla teoria degli insiemi.

Lungo il percorso vengono discussi i comuni algoritmi a carta e penna per il calcolo aritmetico. Dopotutto, sono tra le grandi creazioni umane e dovrebbero essere considerati come tali.

Il sistema dei numeri reali viene spesso presentato utilizzando i tagli di Dedekind o le sequenze di Cauchy. Noi abbiamo scelto un approccio la cui intuizione è più familiare ai più: i decimali infiniti. Li sviluppiamo in modo semplice, ma rigoroso, basandoci su ciò che è già stato esposto.

Sono inclusi esercizi. Alcuni sono di tipo computazionale e altri di tipo "a prova di bomba". Se il lavoro viene svolto con successo, il lettore non solo avrà imparato qualcosa, ma saprà anche di averla imparata.