Modellazione e simulazione della volatilità stocastica in finanza

Titolo originale:

Modelling and Simulation of Stochastic Volatility in Finance

Contenuto del libro:

Il famoso modello di Black-Scholes è stato il punto di partenza di una nuova industria finanziaria e da allora è stato un pilastro molto importante di tutto il trading di opzioni. Uno dei suoi presupposti fondamentali è che la volatilità dell'attività sottostante sia costante.

Si è capito presto che per avvicinarsi al comportamento del mercato è necessario specificare una dinamica sulla volatilità stessa. Sono principalmente due gli aspetti che rendono evidente questo fatto. Considerando l'evoluzione storica della volatilità analizzando i dati delle serie temporali si osserva un comportamento erratico nel tempo.

In secondo luogo, se si esclude la volatilità implicita dalle opzioni plain vanilla negoziate giornalmente, la volatilità cambia con lo strike. Le realizzazioni più comuni di questo fenomeno sono lo smile o lo skew della volatilità implicita.

È naturale chiedersi come estendere il modello di Black-Scholes in modo appropriato. In questo libro il concetto di volatilità stocastica viene analizzato e discusso con particolare riguardo ai problemi numerici che si presentano sia nella calibrazione del modello alla superficie di volatilità implicita del mercato, sia nella simulazione numerica del sistema bidimensionale di equazioni differenziali stocastiche necessarie per prezzare i derivati finanziari non vanilla.

Introduciamo un nuovo modello di volatilità stocastica, il cosiddetto modello Hyp-Hyp, e utilizziamo il calcolo di Watanabe per trovare un'approssimazione analitica alla volatilità implicita del modello. Inoltre, la classe dei modelli di diffusione affini, come quello di Heston, viene analizzata in vista dell'utilizzo della funzione caratteristica e delle tecniche di inversione di Fourier per valutare le derivate europee.