Matrici aleatorie e probabilità non commutativa

Titolo originale:

Random Matrices and Non-Commutative Probability

Contenuto del libro:

Questo è un libro introduttivo sulla probabilità non commutativa o probabilità libera e sulle matrici casuali a grande dimensione. I concetti di base della probabilità libera sono introdotti per analogia con la probabilità classica in modo lucido e rapido. Vengono poi sviluppati i risultati sulla convergenza delle matrici aleatorie a grande dimensione, con particolare attenzione alle interessanti connessioni con la probabilità libera. Il libro non presuppone quasi nessun prerequisito. Tuttavia, la familiarità con i concetti di convergenza di base della probabilità e un po' di maturità matematica saranno utili.

⬤ Le proprietà combinatorie delle partizioni non incrociate, compresa la funzione di Mbius, giocano un ruolo centrale nell'introduzione della probabilità libera.

⬤ L'indipendenza libera viene definita tramite cumulanti liberi in analogia con il modo in cui l'indipendenza classica può essere definita tramite cumulanti classici.

⬤ I cumulanti liberi sono introdotti attraverso la funzione di Mbius.

⬤ Gli spazi di probabilità del prodotto libero sono costruiti utilizzando i cumulanti liberi.

⬤ Vengono discusse la convergenza marginale e la convergenza traciale congiunta di matrici casuali di grandi dimensioni, come le matrici di Wigner, ellittiche, di covarianza campionaria, di covarianza incrociata, di Toeplitz, di Circulant e di Hankel.

⬤ La convergenza della distribuzione spettrale empirica viene discussa per le matrici simmetriche.

⬤ Sono discussi in dettaglio i risultati asintotici di freeness per le matrici casuali, compresi alcuni recenti. Questi chiariscono la struttura dei limiti per la convergenza congiunta di matrici casuali.

⬤ Si dimostra inoltre la gratuità asintotica delle matrici di covarianza di campioni indipendenti attraverso l'incorporazione in matrici di Wigner.

⬤ Esercizi, a livello avanzato per laureati e diplomati, sono forniti in ogni capitolo.