Mappe planari, cammini casuali e impacchettamento di cerchi

Titolo originale:

Planar Maps, Random Walks and Circle Packing

Contenuto del libro:

Questo libro ad accesso libero si concentra sull'interazione tra i cammini casuali su mappe planari e il teorema di Koebe sugli impacchettamenti di cerchi. Tra gli altri argomenti trattati figurano le reti elettriche, il teorema di He-Schramm sugli impacchettamenti di cerchi infiniti, gli alberi di spanning uniformi di mappe planari, i limiti locali di mappe planari finite e la ricorrenza quasi sicura di semplici passeggiate casuali su questi limiti.

Uno degli obiettivi principali è quello di presentare una prova autonoma che la triangolazione planare infinita uniforme (UIPT) è quasi sicuramente ricorrente. Vengono fornite le prove complete di tutte le affermazioni. Una mappa planare è un grafo che può essere disegnato nel piano senza incrociare spigoli, insieme a una specifica dell'ordinamento ciclico degli spigoli incidenti su ciascun vertice.

Un metodo ampiamente applicabile per disegnare grafi planari è dato dal teorema dell'impacchettamento dei cerchi di Koebe (1936). Diverse proprietà geometriche di questi disegni, come l'esistenza di punti di accumulazione e di limiti sui raggi, codificano importanti informazioni probabilistiche, come la ricorrenza/transitorietà di semplici passeggiate casuali e la connettività della foresta uniforme.

Questa profonda connessione è particolarmente proficua per lo studio delle mappe planari casuali. Il libro si rivolge a ricercatori e studenti laureati in matematica ed è adatto a un corso di un solo semestre; si presuppone solo una conoscenza di base della teoria della probabilità a livello universitario.

Quest'opera è stata pubblicata da Saint Philip Street Press in base a una licenza Creative Commons che ne consente l'uso commerciale. Tutti i diritti non concessi dalla licenza dell'opera sono mantenuti dall'autore o dagli autori.