Lattici residui: Uno sguardo algebrico alle logiche sottostrutturali: Volume 151

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Titolo originale:

Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics: Volume 151

Contenuto del libro:

Il libro ha un duplice scopo. Il primo e più ovvio è quello di presentare lo stato dell'arte della ricerca algebrica sulle strutture residue relative alle logiche sottostrutturali. Il secondo, meno ovvio ma altrettanto importante, è quello di fornire un'introduzione ragionevolmente delicata alla logica algebrica. All'inizio, il secondo obiettivo è predominante. Così, nei primi capitoli il lettore troverà un'introduzione all'algebra universale per i logici, un corso accelerato di logica non classica per gli algebristi, un'introduzione alle strutture residue, un abbozzo di calcoli di tipo Gentzen e alcune nozioni di teoria delle prove - tra cui il celebre Hauptsatz, o teorema di eliminazione dei tagli. Tutto ciò conduce naturalmente a una discussione sulle interconnessioni tra logica e algebra, in cui cerchiamo di dimostrare come esse costituiscano due facce della stessa medaglia. Pensiamo che i capitoli iniziali possano essere utilizzati come libro di testo per un corso di laurea, magari intitolato Algebra e logiche sottostrutturali.

Con l'avanzare del libro, il primo obiettivo diventa preponderante rispetto al secondo. Anche se il punto preciso di equilibrio sarebbe difficile da specificare, è sicuro che entriamo nella parte tecnica con la discussione di vari completamenti di strutture residue. Questi includono i completamenti di Dedekind-McNeille e le estensioni canoniche. I completamenti sono utilizzati in seguito per studiare diverse proprietà di finitezza, come la proprietà del modello finito, la generazione di varietà dai loro membri finiti e l'incorporabilità finita. Anche l'analisi algebrica dell'eliminazione dei tagli che segue fa ricorso ai completamenti. Segue la decidibilità di logiche, teorie equazionali e quasi-equazionali, in cui mostriamo come metodi teorici di prova come la cut elimination siano preferibili per logiche/teorie piccole, ma strumenti semantici come il teorema di Rabin funzionino meglio per quelle grandi. Passiamo poi al teorema di Glivenko, secondo il quale una formula è una tautologia intuizionistica se e solo se la sua doppia negazione è una formula classica. Lo generalizziamo all'ambito delle logiche sottostrutturali, identificando per ogni logica sottostrutturale la sua classe di equivalenza di Glivenko con l'elemento più piccolo e quello più grande. È qui che iniziamo a studiare le matrici di logiche e varietà, piuttosto che esempi particolari. Continuiamo su questa linea presentando una serie di risultati riguardanti le varietà minime/le logiche massime.

Un tipico teorema dice che per una data varietà nota il suo reticolo di sottovarietà ha esattamente un tale numero di membri minimi (dove i valori di tale numero includono, ma non si limitano a, continuum, countably many e two). Negli ultimi due capitoli ci concentriamo sul reticolo di varietà corrispondenti alle logiche senza contrazione. In uno dimostriamo un risultato negativo: che non esistono splitting non banali in quella varietà. Nell'altro, ne dimostriamo uno positivo: le varietà semisemplici coincidono con quelle discriminanti.

Nella seconda parte del libro, più tecnica, si può tracciare un altro processo di transizione. In altre parole, si inizia con tecnicismi di tipo logico e si finisce con tecnicismi di tipo algebrico. Qui, forse, la resa algebrica dei teoremi di Glivenko segna il punto di equilibrio, almeno nel senso che le proprietà di finitezza, la decidibilità e i teoremi di Glivenko sono di chiaro interesse per i logici, mentre la semisemplicità e le varietà discriminanti sono l'algebra universale per eccellenza. Spetta al lettore giudicare se siamo riusciti a tessere questi fili in un tessuto senza cuciture.