La geometria del gruppo dei diploamorfismi simplettici

Titolo originale:

The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphism

Contenuto del libro:

Il gruppo dei diffeomorfismi hamiltoniani Ham(M, 0) di un manufatto simplettico (M, 0) svolge un ruolo fondamentale sia in geometria che in meccanica classica. Per un geometra, almeno sotto alcune ipotesi sul manifesto M, si tratta solo della componente connessa dell'identità nel gruppo di tutti i diffeomorfismi simplettici.

Dal punto di vista della meccanica, Ham(M, O) è il gruppo di tutti i moti ammissibili. Qual è la quantità minima di energia necessaria per generare un dato diffeomorfismo hamiltoniano I? Il tentativo di formalizzare e rispondere a questa domanda naturale ha portato H. Hofer HI) (1990) a una scoperta notevole.

Si è scoperto che la soluzione di questo problema variazionale può essere interpretata come una quantità geometrica, ossia come la distanza tra I e la trasformazione d'identità. Inoltre questa distanza è associata a una metrica canonica biinvariante su Ham(M, 0).

Dal lavoro di Hofer questa nuova metrica è stata intensamente studiata nell'ambito della moderna topologia simplettica. Nel presente libro descriverò alcuni di questi sviluppi.

La geometria di Hofer ci permette di studiare varie nozioni e problemi che derivano dalla familiare geometria a dimensione finita nel contesto del gruppo dei diffeomorfismi hamiltoniani. Tali nozioni e problemi si rivelano molto diversi dalla solita cerchia di problemi considerati nella topologia simplettica e quindi estendono in modo significativo la nostra visione del mondo simplettico.