Introduzione alla geometria e alla topologia

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Titolo originale:

Introduction to Geometry and Topology

Contenuto del libro:

Questo libro fornisce un'introduzione alla topologia, alla topologia differenziale e alla geometria differenziale. Si basa su manoscritti perfezionati attraverso l'uso in diversi corsi. Il primo capitolo tratta i risultati e i concetti elementari della topologia degli insiemi di punti. Fa eccezione il teorema della curva di Jordan, che viene dimostrato per i percorsi poligonali e ha lo scopo di dare agli studenti un primo sguardo alla natura dei problemi topologici più profondi.

Il secondo capitolo del libro introduce i manifold e i gruppi di Lie ed esamina un ampio assortimento di esempi. Un'ulteriore discussione esplora i fasci tangenti, i fasci vettoriali, i differenziali, i campi vettoriali e le parentesi di Lie dei campi vettoriali. Questa discussione viene approfondita e ampliata nel terzo capitolo, che introduce la coomologia di de Rham e l'integrale orientato e fornisce le prove del teorema del punto fisso di Brouwer, del teorema di separazione di Jordan-Brouwer e della formula integrale di Stokes.

Il quarto e ultimo capitolo è dedicato ai fondamenti della geometria differenziale e ripercorre lo sviluppo delle idee dalle curve ai sottomanifesti degli spazi euclidei. Lungo il percorso, il libro discute le connessioni e la curvatura, i concetti centrali della geometria differenziale. La discussione culmina con le equazioni di Gau e la versione del teorema egregium di Gau per i sottomanifesti di dimensione e codimensione arbitraria.

Questo libro si rivolge principalmente a laureati di livello avanzato in matematica e fisica ed è inteso come modello per un corso di laurea di uno o due semestri.