Introduzione alla geometria differenziale

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Titolo originale:

Introduction to Differential Geometry

Contenuto del libro:

Questo libro di testo è adatto a un corso semestrale di geometria differenziale per studenti di matematica o di discipline STEM con una conoscenza pratica di analisi, algebra lineare, analisi complessa e topologia degli insiemi di punti. Il libro tratta l'argomento sia da un punto di vista estrinseco che intrinseco.

I primi capitoli forniscono una panoramica storica del campo e contengono un'introduzione ai concetti di base, come manifold e mappe lisce, campi vettoriali e flussi, e gruppi di Lie, fino al teorema di Frobenius. I capitoli successivi trattano la connessione Levi-Civita, le geodetiche, il tensore di curvatura di Riemann, la dimostrazione del teorema di Cartan-Ambrose-Hicks e le applicazioni agli spazi piani, agli spazi simmetrici e ai manifesti a curvatura costante. Sono incluse anche sezioni sui manifesti con curvatura sezionale non positiva, sul tensore di Ricci, sulla curvatura scalare e sul tensore di Weyl.

Un capitolo aggiuntivo va oltre la portata di un corso semestrale e tratta argomenti come i punti coniugati e l'indice di Morse, il raggio di iniettività, il gruppo delle isometrie e il teorema di Myers-Steenrod e l'approccio geometrico differenziale di Donaldson alla teoria dell'algebra di Lie.