Introduzione ai processi stocastici

Titolo originale:

Introduction to Stochastic Processes

Contenuto del libro:

L'obiettivo di questo libro è introdurre gli elementi dei processi stocastici in modo piuttosto conciso, presentando le due parti più importanti: le catene di Markov e l'analisi stocastica. I lettori sono condotti direttamente al cuore degli argomenti principali da trattare nel contesto.

Ulteriori dettagli e materiali aggiuntivi sono lasciati a una sezione contenente numerosi esercizi per ulteriori letture e studi. Nella parte dedicata alle catene di Markov, l'attenzione si concentra sull'ergodicità. Utilizzando il metodo delle soluzioni minime non negative, vengono trattati la ricorrenza e i vari tipi di ergodicità.

Si procede per gradi, da spazi di stati finiti a spazi di stati denumerabili e da tempo discreto a tempo continuo.

I metodi di dimostrazione adottano tecniche moderne, come i metodi di accoppiamento e di dualità. Sono inclusi alcuni risultati molto nuovi, come la stima del gap spettrale.

La struttura e le prove della prima parte sono piuttosto diverse da quelle degli altri libri di testo esistenti sulle catene di Markov. Nella parte dedicata all'analisi stocastica, vengono trattati la teoria delle martingale e i moti browniani, l'integrale stocastico e le equazioni differenziali stocastiche, con particolare attenzione a una dimensione, e l'integrale stocastico multidimensionale e l'equazione stocastica basata sulle semimartingale. Introduciamo tre argomenti importanti: la formula di Feynman-Kac, la trasformata temporale casuale e la trasformata di Girsanov.

Come applicazione essenziale della teoria della probabilità nella matematica classica, trattiamo anche la famosa disuguaglianza di Brunn-Minkowski nella geometria convessa. Questo libro presenta anche la moderna teoria della probabilità che viene utilizzata in diversi campi, come l'MCMC, o anche in aree deterministiche: la geometria convessa e la teoria dei numeri. Fornisce una routine nuova e diretta per gli studenti che passano dalle classiche catene di Markov alla moderna analisi stocastica.