Guida di base ai problemi di unicità delle equazioni differenziali evolutive

Titolo originale:

A Basic Guide to Uniqueness Problems for Evolutionary Differential Equations

Contenuto del libro:

Questo libro affronta il tema dell'unicità della soluzione di un problema - un argomento molto importante nella scienza e nella tecnologia, in particolare nel campo delle equazioni differenziali parziali, dove l'unicità garantisce che determinate equazioni differenziali parziali sono sufficienti per modellare un determinato fenomeno.

Questo libro vuole essere una breve introduzione alle questioni di unicità per i problemi di valore iniziale. Spesso si indebolisce la nozione di soluzione per includere soluzioni non differenziabili. Tale soluzione è chiamata soluzione debole. È più facile trovare una soluzione debole, ma è più difficile stabilirne l'unicità. Questo libro esamina tre equazioni fondamentali: le equazioni differenziali ordinarie, le leggi di conservazione scalari e le equazioni di Hamilton-Jacobi. Partendo dalla disuguaglianza standard di Gronwall, questo libro discute le equazioni differenziali ordinarie meno regolari. Include un'introduzione di argomenti avanzati come la teoria degli operatori monotoni massimi e la cosiddetta teoria di DiPerna-Lions, che è ancora un'area di ricerca attiva. Per le leggi di conservazione, viene spiegata l'unicità della soluzione dell'entropia e una speciale soluzione debole (discontinua). Per le equazioni di Hamilton-Jacobi, vengono stabiliti diversi risultati di unicità per una soluzione di viscosità, una sorta di soluzione debole non differenziabile. Si discute anche l'unicità della soluzione discontinua di viscosità. Per ogni affermazione di unicità viene fornita una prova dettagliata.

Il lettore dovrà apprendere le idee e le tecniche fondamentali dell'analisi matematica per le equazioni differenziali parziali, stabilendo l'unicità. Non sono necessari altri prerequisiti oltre al semplice calcolo e all'algebra lineare. Per comodità del lettore, alla fine del libro è riportato un elenco della terminologia di base.