Geometria algebrica e curve aritmetiche

Recensioni dei lettori

Il libro è generalmente ben accolto come testo di accompagnamento al libro di Hartshorne sulla geometria algebrica, in particolare per la sua chiarezza nella teoria degli schemi e per la sua attenzione alle applicazioni aritmetiche. Tuttavia, è stato notato che alcune prove potrebbero essere più chiare e che alcuni argomenti importanti non sono sufficientemente trattati.

⬤ Eccellente compagno del libro di Hartshorne
⬤ spiegazioni chiare e perspicaci
⬤ molti esempi e controesempi concreti
⬤ adatto alle menti aritmetiche
⬤ fornisce una buona base nella teoria degli schemi
⬤ più leggibile del libro di Hartshorne
⬤ contenuto sostanziale rispetto al libro di Shafarevich.

⬤ Alcune prove non sono chiare e sono presentate in modo ad hoc
⬤ alcuni argomenti importanti sono trattati in modo insufficiente
⬤ non fa riferimento a linguaggi più vecchi
⬤ le parti successive si basano su risultati citati dell'algebra commutativa
⬤ alcuni utenti suggeriscono di accompagnarlo con Hartshorne o altri documenti per una comprensione completa.

(basato su 6 recensioni dei lettori)

Titolo originale:

Algebraic Geometry and Arithmetic Curves

Contenuto del libro:

Questa nuova edizione in brossura fornisce un'introduzione generale alla geometria algebrica e aritmetica, a partire dalla teoria degli schemi, seguita da applicazioni alle superfici aritmetiche e alla teoria della riduzione delle curve algebriche.

La prima parte introduce gli oggetti di base come gli schemi, i morfismi, il cambiamento di base, le proprietà locali (normalità, regolarità, teorema principale di Zariski). Segue l'aspetto più globale: i covoni coerenti e un teorema di finitezza per i loro gruppi di coomologia. Segue un capitolo sui covoni di differenziali, sui covoni dualizzanti e sulla teoria della dualità di Grothendieck. La prima parte si conclude con il teorema di Riemann-Roch e la sua applicazione allo studio delle curve proiettive lisce su un campo. Le curve singolari sono trattate attraverso uno studio dettagliato del gruppo di Picard.

La seconda parte inizia con il blowing-up e la desingolarizzazione (incorporata o meno) di superfici fibrate su un anello di Dedekind, che porta alla teoria delle intersezioni sulle superfici aritmetiche. Viene dimostrato il criterio di Castelnuovo e l'esistenza di un modello regolare minimo. Questo porta allo studio della riduzione delle curve algebriche. Il caso delle curve ellittiche viene studiato in dettaglio. Il libro si conclude con il teorema fondamentale della riduzione stabile di Deligne-Mumford.

Questo libro è essenzialmente autosufficiente e include il materiale necessario sull'algebra commutativa. I prerequisiti sono pochi e, grazie ai numerosi esempi e ai circa 600 esercizi, il libro è ideale per gli studenti universitari.